Tο θεώρημα της Μη Πληρότητας

Το 1906 γεννιέται στην Τσεχία ένα αγόρι με υψηλότατο βαθμό νοημοσύνης, ο Κουρτ Γκέντελ (Kurt Godel) που θα γίνει ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς, ή ο σημαντικότερος για πολλούς καθώς το περιοδικό Time τον ανέδειξε ως την κορυφαία μαθηματική προσωπικότητα του 20ου αιώνα. Έγινε διάσημος με το θεώρημα περί μη πληρότητας που ήρθε να αναταράξει τα μέχρι τότε συμβατικά και αξιωματικά μαθηματικά.

Το 1902 ο γερμανός μαθηματικός Γκότλομπ Φρέγκε (Gottlob Frege) προσπάθησε να δημιουργήσει ένα σύστημα συμβολικής λογικής που να αποτελεί τη βάση όλων των μαθηματικών. Το σύστημα του χαρακτηριζόταν από απόλυτη αυστηρότητα, είχε τον ελάχιστο δυνατό αριθμό αυθαίρετων παραδοχών και η δόμηση του γινόταν με απόδειξη βήμα βήμα.
Όμως ο γνωστός βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ (Bertrand Russell) επεσήμανε στον Γκότλομπ Φρέγκε μια αντίφαση που είχε το σύστημα του. Τελικά ο Φρέγκε κατάλαβε ότι όλη του η εργασία ήταν άχρηστη, αφού δεν μπορούσε να αντιμετωπίσει ή να εξαλείψει αυτή την αντίφαση. Αργότερα απέτυχαν κι άλλοι μαθηματικοί να θεμελιώσουν τα μαθηματικά σε μια τυπική λογική βάση.
Το 1931 ο Κουρτ Γκέντελ έθεσε τέλος σε όλα αυτά τα επιχειρήματα με το θεώρημα της μη πληρότητας. Ο Γκέντελ μετέφρασε τα σύμβολα της συμβολικής λογικής σε αριθμούς κατά συστηματικό τρόπο και απέδειξε ότι είναι πάντα δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός στον οποίο δεν μπορούμε να καταλήξουμε αρχίζοντας από τους άλλους αριθμούς του συστήματος.
Ο Γκέντελ τελικά καταλήγει στην εξής διατύπωση για το θεώρημα της μη πληρότητας: κάθε σύστημα αξιωμάτων περιλαμβάνει προτάσεις τις οποίες ΔΕΝ μπορούμε να διερευνήσουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, με τα μέσα που μας δίνει το ίδιο το σύστημα.
Με άλλα λόγια, για να μπορέσουμε να αποδείξουμε τις αξιωματικές αυτές προτάσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο σύστημα αξιωμάτων ακόμα πιο ευρύ, που να περιέχει το προηγούμενο. Έτσι όμως, μένουμε και πάλι με την αδυναμία μας να αποδείξουμε το ευρύτερο αυτό σύστημα, και χρειαζόμαστε κάτι ακόμα ευρύτερο. Τελικά φαίνεται ότι η γνώση μας για το κάθε τι πάντα θα απαιτεί περισσότερα στοιχεία, που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ’ έξω από το υπό μελέτην σύστημα.
Με αυτό το θεώρημα, ο Γκέντελ έθεσε τέλος στην αναζήτηση της βεβαιότητας στα μαθηματικά, αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει βεβαιότητα και δεν μπορεί να υπάρξει, όπως ακριβώς είχε κάνει ο Χάιζενμπεργκ στην φυσική.
Το θεώρημα της μη πληρότητας, αποδεικνύει ουσιαστικά ότι ακόμη και στα μαθηματικά, το απώτατο προπύργιο του ορθολογισμού, η αποδεικτική δύναμη της Λογικής έχει όρια. Ότι δηλαδή σε κάθε θεωρία, όσο καλο-δομημένη κι αν είναι, με όσα μη αντιφατικά αξιώματα κι αν εξοπλισθεί, θα μείνουν πάντα αλήθειες μη-αποδείξιμες, απροσπέλαστες απ’ τη μέθοδο του «ένα και ένα κάνουν δύο». Αυτό φυσικά διόλου δεν σημαίνει ότι το θεώρημα δείχνει πως η Λογική είναι σαθρό εργαλείο. Καθόλου. Βάζει όμως φραγμό στην παντοδυναμία της.
Το θεώρημα της μη πληρότητας έχει στενή συγγένεια με αρκετά αποτελέσματα σχετικά με τα μη αποφασίσιμα σύνολα στη θεωρία αναδρομής, η οποία αποτελεί κεντρικό πυλώνα της επιστήμης υπολογιστών.
Ο Στίβεν Κλέινι (Stephen Cole Kleene) το 1943 παρουσίασε μία απόδειξη του θεωρήματος της μη πληρότητας του Γκέντελ χρησιμοποιώντας βασικά αποτελέσματα της θεωρίας υπολογισμού. Ένα τέτοιο αποτέλεσμα δείχνει ότι το πρόβλημα τερματισμού δεν έχει λύση: δεν υπάρχει πρόγραμμα υπολογιστή που δοθέντος ενός προγράμματος Π ως είσοδο, να μπορεί να αποφασίσει σωστά αν το Π τελικά σταματά όταν τρέξει χωρίς είσοδο. Ο Κλέινι έδειξε ότι η ύπαρξη μιας πλήρους, αποτελεσματικής θεωρίας της αριθμητικής με συγκεκριμένες ιδιότητες συνέπειας θα σήμαινε πως το πρόβλημα του τερματισμού είναι αποφασίσιμο (υπολογίσιμο), μια αντίφαση. Η μη υπολογισιμότητα μπορεί επομένως να περιγραφεί ως συνέπεια της μη πληρότητας του Γκέντελ.
Από μια άλλη άποψη το θεώρημα αυτό δείχνει πως για να μπορέσει να καταλάβει πλήρως το σύμπαν πρέπει να το θεωρήσει παρατηρώντας το από μια θέση έξω απ’ αυτό. Μέσα στο σύμπαν υπάρχουν όρια για την κατανόηση του. Μήπως λοιπόν είναι ανώφελο να ψάχνουμε για να βρούμε όλες τις απαντήσεις για τον Κόσμο μας; μήπως τα μυστικά του Κόσμου είναι καλά κρυμμένα για τις οντότητες που είναι μέσα σε αυτόν;
Πηγή: http://gravitonio.blogspot.gr/2011/09/blog-post_12.html